Question

13．已知等比数列{a_n}的首项为1，若4a₁，2a₂，a₃成等差数列，数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和为S_n，则满足不等式S_n＞$\frac{125}{63}$的n的最小值为（　　）

• A． 7
• B． 6
• C． 5
• D． 4

Answer 1

分析 设出等比数列的公比q，由题意列式求得q，再由等比数列的前n项和求得数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和为S_n，代入S_n＞$\frac{125}{63}$求得n的最小值．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q，又a₁=1，
由4a₁，2a₂，a₃成等差数列，得4a₂=4a₁+a₃，
即4q=4+q²，解得q=2，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
则其前n项和为S_n=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}=2（1-\frac{1}{{2}^{n}}）$，
由S_n＞$\frac{125}{63}$，得$2（1-\frac{1}{{2}^{n}}）＞\frac{125}{63}$，
即2^n-1＞63，
∵n∈N^*，∴n的最小值为7．
故选：A．

点评 本题考查等比数列的性质，考查了等比数列的前n项和，训练了数列不等式的解法，是中档题．