Question

13．给出下列命题：
①若$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a}|-|{\overrightarrow b}|$，则存在实数λ，使得$\overrightarrow b=λ\overrightarrow a$；
②$a={log_{\frac{1}{3}}}2，b={log_{\frac{1}{2}}}3，c={（{\frac{1}{3}}）^{0.5}}$大小关系是c＞a＞b；
③已知直线l₁：ax+3y-1=0，l₂：x+by+1=0，则l₁⊥l₂的充要条件是$\frac{a}{b}=-3$；
④已知a＞0，b＞0，函数y=2ae^x+b的图象过点（0，1），则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值是$4\sqrt{2}$．其中正确命题的序号是①② （把你认为正确的序号都填上）．

Answer 1

分析 ①根据向量关系的等价条件进行判断，
②根据对数和指数幂的运算性质进行判断，
③根据直线垂直的等价条件进行判断，
④根据基本不等式的性质进行判断即可．

解答 解：①若$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a}|-|{\overrightarrow b}|$，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线，且方向相反，即存在实数λ，使得$\overrightarrow b=λ\overrightarrow a$成立；故①正确，
②log${\;}_{\frac{1}{3}}$2=-log₃2∈（-1，0），b=log${\;}_{\frac{1}{2}}$3=-log₂3＜-1，（$\frac{1}{3}$）^0.5＞0，则c＞a＞b，故②正确，
③当b=0，a=0时，两直线分别为l₁：3y-1=0，l₂：x+1=0，满足l₁⊥l₂，故l₁⊥l₂的充要条件是$\frac{a}{b}=-3$错误，故③错误，
④已知a＞0，b＞0，函数y=2ae^x+b的图象过点（0，1），则2a+b=1，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$）（2a+b）=2+1+$\frac{2a}{b}$+$\frac{b}{a}$≥3+2$\sqrt{\frac{2a}{b}•\frac{b}{a}}$=3+2$\sqrt{2}$，
即则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值是3+2．故④错误，
故答案为：①②

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．