Question

5．已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，长轴长为$2\sqrt{2}$，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，斜率为k，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且$\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PB}$．
（I）求椭圆方程；
（Ⅱ）求m的取值范围．

Answer 1

分析 （I）设椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（II）由题意知：直线l的方程为y=kx+m，设l与椭圆C交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量共线的坐标表示，得到m，k的关系式，再解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（I）设椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
由条件知$\left\{{\begin{array}{l}{2a=2\sqrt{2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}}\\{{c^2}={a^2}-{b^2}}\end{array}}\right.$，
∴$a=\sqrt{2}，b=c=1$，
故C的方程为：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（II）由题意知：直线l的方程为y=kx+m，
设l与椭圆C交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x^2}+2{y^2}=2}\end{array}}\right.$，得（2k²+1）x²+4kmx+（2m²-2）=0，
△=（4km）²-4（2k²+1）（2m²-2）=8（2k²-m²+1）＞0（*）
${x_1}+{x_2}=\frac{-4km}{{2{k^2}+1}}，{x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-2}}{{2{k^2}+1}}$，
∵$\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PB}$，∴-x₁=3x₂，$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=-2{x_2}}\\{{x_1}{x_2}=-3x_2^2}\end{array}}\right.$，
消去x₂，得$3{（{x_1}+{x_2}）^2}+4{x_1}{x_2}=0$，
∴$3{（\frac{-4km}{{2{k^2}+1}}）^2}+4\frac{{2{m^2}-2}}{{2{k^2}+1}}=0$，
整理得8k²m²+m²-2k²-1=0，
当m²=$\frac{1}{4}$时，上式不成立；当m²≠$\frac{1}{4}$时，$2{k^2}=\frac{{1-{m^2}}}{{4{m^2}-1}}$，
由（*）式得2k²＞m²-1，
∴$\frac{{1-{m^2}}}{{4{m^2}-1}}＞{m^2}-1$，∴-1＜m＜-$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}$＜m＜1，
即所求m的取值范围为（-1，-$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，1）．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，以及向量共线的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．