Question

10．如图所示，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$）的左顶点为A，上顶点为B，左焦点为F，原点O到直线BF的距离为$\frac{c}{2}$，△ABF的面积为1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过直线x=4上的动点P引椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，求△OMN面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）可得A（-a，0），B（0，b），F（-c，0），可得BF的方程为bx-cy+bc=0，运用点到直线的距离公式和三角形的面积公式，结合a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）对椭圆求导，求得切线的斜率，求出M，N处切线的方程，再求切点弦方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，再由点到直线的距离公式，求得三角形OMN的面积，由对号函数的单调性可得最大值，进而得到所求范围．

解答 解：（1）由题意可得A（-a，0），B（0，b），F（-c，0），
可得BF的方程为bx-cy+bc=0，
可得$\frac{bc}{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}$=$\frac{c}{2}$，即为c²=3b²，
又$\frac{1}{2}$•（a-c）•b=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又a²-b²=c²，
解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
可得椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）对椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1两边对x求导，可得$\frac{1}{2}$x+2yy′=0，
即有切线的斜率为k=-$\frac{x}{4y}$，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（4，m），
可得M处的切线为y-y₁=-$\frac{{x}_{1}}{4{y}_{1}}$（x-x₁），结合$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+y₁²=1，
即有$\frac{{x}_{1}x}{4}$+y₁y=1；
同样可得N处的切线的方程为$\frac{{x}_{2}x}{4}$+y₂y=1．
将P的坐标代入可得，x₁+my₁=1，x₂+my₂=1，
再由两点确定一条直线，可得MN的方程为
x+my=1，代入椭圆方程可得，
（4+m²）y²-2my-3=0，
y₁+y₂=$\frac{2m}{4+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{3}{4+{m}^{2}}$，
可得|MN|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{\frac{4{m}^{2}}{（4+{m}^{2}）^{2}}+\frac{12}{4+{m}^{2}}}$=4$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{\frac{3+{m}^{2}}{（4+{m}^{2}）^{2}}}$，
O到直线MN的距离为d=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
可得S_△OMN=$\frac{1}{2}$d•|MN|=2•$\sqrt{\frac{3+{m}^{2}}{（4+{m}^{2}）^{2}}}$=2$\sqrt{\frac{1}{（3+{m}^{2}）+\frac{1}{3+{m}^{2}}+2}}$
由3+m²≥3，可得3+m²+$\frac{1}{3+{m}^{2}}$≥3+$\frac{1}{3}$=$\frac{10}{3}$，
当且仅当m=0时，取得等号．
即有△OMN面积的取值范围是（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用点到直线的距离公式和三角形的面积公式，考查椭圆的切线的方程和切点弦方程的求法，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．