Question

19．已知函数f（x）=log_acos（2x-$\frac{π}{3}$）（其中a＞0，且a≠1）．
（1）求它的定义域；
（2）求它的单调区间；
（3）判断它的奇偶性；
（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的周期．

Answer 1

分析 （1）可结合余弦函数的图象，解$cos（2x-\frac{π}{3}）＞0$便可得出f（x）的定义域为$（-\frac{π}{12}+kπ，\frac{5π}{12}+kπ），k∈Z$；
（2）可以看出原函数是由g（t）=log_at和t=$cos（2x-\frac{π}{3}）$复合而成的复合函数，这样根据余弦函数、对数函数，以及复合函数的单调性便可求出f（x）的单调区间；
（3）可以看出f（x）的定义域不关于原点对称，从而得出f（x）为非奇非偶函数；
（4）由$y=cos（2x-\frac{π}{3}）$为周期函数，且周期为π便可判断f（x）的周期性，并可得出它的周期．

解答 解：（1）解$cos（2x-\frac{π}{3}）＞0$得，$-\frac{π}{2}+2kπ＜2x-\frac{π}{3}＜\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$；
∴$-\frac{π}{12}+kπ＜x＜\frac{5π}{12}+kπ，k∈Z$；
∴f（x）的定义域为$（-\frac{π}{12}+kπ，\frac{5π}{12}+kπ），k∈Z$；
（2）设$t=cos（2x-\frac{π}{3}）$，g（t）=log_at；
解$-\frac{π}{2}+2kπ＜2x-\frac{π}{3}≤0+2kπ$得，$-\frac{π}{12}+kπ＜x≤\frac{π}{6}+kπ$，k∈Z；
解$0+2kπ＜2x-\frac{π}{3}＜\frac{π}{2}+2kπ$得，$\frac{π}{6}+kπ＜x＜\frac{5π}{12}+kπ，k∈Z$；
∴t=$cos（2x-\frac{π}{3}）$在$（-\frac{π}{12}+kπ，\frac{π}{6}+kπ]$上单调递增，在$（\frac{π}{6}+kπ，\frac{5π}{12}+kπ）$上单调递减；
①若a＞1，则g（t）为增函数；
∴f（x）的单调增区间为$（-\frac{π}{12}+kπ，\frac{π}{6}+kπ]$，k∈Z，单调减区间为$（\frac{π}{6}+kπ，\frac{5π}{12}+kπ）$，k∈Z；
②若0＜a＜1，则g（t）为减函数；
∴f（x）的单调递增区间为$（\frac{π}{6}+kπ，\frac{5π}{12}+kπ），k∈Z$，单调减区间为$（-\frac{π}{12}+kπ，\frac{π}{6}+kπ]，k∈Z$；
（3）f（x）的定义域不关于原点对称，∴为非奇非偶函数；
（4）$y=cos（2x-\frac{π}{3}）$为周期函数，周期为π；
∴f（x）为周期函数，周期为π．

点评 考查余弦函数的图象和周期，解$cos（2x-\frac{π}{3}）＞0$可结合余弦函数的图象，函数定义域的概念及求法，余弦函数、对数函数及复合函数的单调性，奇函数或偶函数的定义域的特点，以及周期函数的定义，函数y=Acos（ωx+φ）周期的计算公式．