Question

9．若f（x）=$\frac{1+cos2x}{2cosx}$+sinx+a²sin（x+$\frac{π}{4}$）的最大值为$\sqrt{2}$+3，则实数a的值为±$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用三角函数的恒等变换化简f（x），再利用三角函数的有界性求出f（x）的最大值，由此求出a的值．

解答 解：f（x）=$\frac{1+cos2x}{2cosx}$+sinx+a²sin（x+$\frac{π}{4}$）
=cosx+sinx+a²sin（x+$\frac{π}{4}$）
=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）+a²sin（x+$\frac{π}{4}$）
=（$\sqrt{2}$+a²）sin（x+$\frac{π}{4}$）；
依题意有$\sqrt{2}$+a²=$\sqrt{2}$+3，
∴a=±$\sqrt{3}$．
故答案为：±$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了三角函数的最值问题，两角和公式和二倍角公式的化简求值．考查了基础知识的综合理解和运用