Question

17．已知函数f（x）=|x-1|-2|x+1|．
（I）求不等式f（x）≤-1的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥3^a-1有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）法一：通过讨论x的范围，解出各个范围内的x的范围，求出不等式的解集即可，法二：根据函数图象求出不等式的解集即可；
（Ⅱ）法一：通过讨论x的范围，解出各个范围内的x的范围，求出不等式的最大值，问题转化为：2≥3^a-1有解，法二：根据函数图象求出不等式的解集即可．

解答 解：（Ⅰ）法一：x＜-1时，不等式化为x+3≤-1，解得：x≤-4，
-1≤x≤1时，不等式化为-3x-1≤-1，即x≥0，∴0≤x≤1，
x＞1时，不等式化为-x-3≤-1，即x≥-2，∴x＞1，
∴不等式的解集是{x|x≤-4或x≥0}；
法二：f（x）=|x-1|-2|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{x+3，x＜-1}\\{-3x-1，-1≤x≤1}\\{-x-3，x＞1}\end{array}\right.$，
如图
由x+3=-1，得x=-4，
由-3x-1=-1，得x=0，
∴不等式的解集是{x|x≤-4或x≥0}；
（Ⅱ）法一：x＜-1时，f（x）=x+3∈（-∞，2），
-1≤x≤1时，f（x）=-3x-1∈[-4，2]，
x＞1时，f（x）=-x-3∈（-∞，-4），
∴x=-1时，f（x）_max=2，
要使关于x的不等式f（x）≥3^a-1有解，
只需2≥3^a-1有解，解得：a≤1，
故a的范围是（-∞，1]；
法二：由f（x）的图象可知x=-1时，f（x）_max=2，
要使关于x的不等式f（x）≥3^a-1有解，
只需2≥3^a-1有解，解得：a≤1，
故a的范围是（-∞，1]．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查数形结合思想，转化思想，是一道中档题．