Question

2．方程sin（2x+$\frac{π}{3}$）+m=0在（0，π）内有相异两解α，β，则tan（α+β）=（　　）

• A． $\frac{1}{6}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 把方程的相异解α、β分别代入方程，得到的两个方程相减，利用和差化积公式化简，结合sin（α-β）≠0，求得cos（α+β+$\frac{π}{3}$）=0，结合范围可求α+β=$\frac{π}{6}$或$\frac{7π}{6}$，从而可求tan（α+β）的值．

解答 解：∵α、β是方程的相异解，
∴sin（2α+$\frac{π}{3}$）+m=0①．
sin（2β+$\frac{π}{3}$）+m=0②．
∴①-②得sin（2α+$\frac{π}{3}$）-sin（2β+$\frac{π}{3}$）=2cos（α+β+$\frac{π}{3}$）sin（α-β）=0，
∵α，β∈（0，π），α，β相异，可得：α-β∈（-π，π），可得：sin（α-β）≠0，
∴cos（α+β+$\frac{π}{3}$）=0，
∵α+β+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{3}$），
∴解得：α+β+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$或$\frac{3π}{2}$，可得α+β=$\frac{π}{6}$或$\frac{7π}{6}$，
∴tan（α+β）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：C．

点评 本题主要考查和差化积公式，正弦函数，余弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想的应用，解题的关键既要熟练掌握公式，又要灵活利用特殊角，属于中档题．