Question

14．如图，椭圆$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，短轴端点分别为B₁，B₂，现沿B₁B₂将椭圆折成120°角（图二），则异面直线F₁B₂与B₁F₂所成角的余弦值为（　　）

• A． 0
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． -$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 由OF₁⊥B₁B₂，OF₂⊥B₁B₂，可得∠F₁OF₂为二面角F₁-B₁B₂-F₂的平面角，即为120°，求得椭圆的a，b，c，运用向量的夹角公式可得cos＜$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{2}}$，$\overrightarrow{{B}_{2}{F}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{2}}•\overrightarrow{{B}_{2}{F}_{1}}}{|\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{2}}|•|\overrightarrow{{B}_{2}{F}_{1}}|}$，计算即可得到所求异面直线所成的角的余弦值．

解答 解：由OF₁⊥B₁B₂，OF₂⊥B₁B₂，
可得∠F₁OF₂为二面角F₁-B₁B₂-F₂的平面角，即为120°，
椭圆$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1中a=$\sqrt{3}$，b=1．c=$\sqrt{2}$，
可得B₁F₂=B₂F₁=$\sqrt{1+2}$=$\sqrt{3}$，
$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{2}}$=$\overrightarrow{{B}_{1}O}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$，$\overrightarrow{{B}_{2}{F}_{1}}$=$\overrightarrow{{B}_{2}O}$+$\overrightarrow{O{F}_{1}}$，
$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{2}}$•$\overrightarrow{{B}_{2}{F}_{1}}$=$\overrightarrow{{B}_{1}O}$•$\overrightarrow{{B}_{2}O}$+$\overrightarrow{{B}_{1}O}$•$\overrightarrow{O{F}_{1}}$+$\overrightarrow{{B}_{2}O}$•$\overrightarrow{O{F}_{2}}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$•$\overrightarrow{O{F}_{1}}$
=-1+0+0+$\sqrt{2}$•$\sqrt{2}$•（-$\frac{1}{2}$）=-2，
即有cos＜$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{2}}$，$\overrightarrow{{B}_{2}{F}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{2}}•\overrightarrow{{B}_{2}{F}_{1}}}{|\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{2}}|•|\overrightarrow{{B}_{2}{F}_{1}}|}$=$\frac{-2}{\sqrt{3}•\sqrt{3}}$=-$\frac{2}{3}$，
可得异面直线F₁B₂与B₁F₂所成角的余弦值为$\frac{2}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，注意运用向量的夹角公式，同时考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于中档题．