Question

17．定义在R的函数f（x）=ln（|x|+1）-$\frac{1}{x^2+1}$，满足f（2x-1）＞f（x+1），则x的取值范围（-∞，0）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 根据二次函数，反比例函数及复合函数、对数函数的单调性便可判断出f（x）在[0，+∞）上单调递增，并容易说明f（x）为偶函数，从而便可由f（2x-1）＞f（x+1）得到f（|2x-1|）＞f（|x+1|），从而得到|2x-1|＞|x+1|，这样解该不等式便可得出x的取值范围．

解答 解：$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{ln（x+1）-\frac{1}{{x}^{2}+1}}&{x≥0}\\{ln（-x+1）-\frac{1}{{x}^{2}+1}}&{x＜0}\end{array}\right.$；
令x²+1=t，$y=-\frac{1}{t}$单调递增；
∵x≥0时，t=x²+1单调递增；
∴$y=-\frac{1}{{x}^{2}+1}$在[0，+∞）上单调递增；
又y=ln（x+1）在[0，+∞）上单调递增；
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增；
f（x）的定义域为R，且f（-x）=f（x）；
∴f（x）为偶函数；
∴由f（2x-1）＞f（x+1）得，f（|2x-1|）＞f（|x+1|）；
∵f（x）在[0，+∞）上单调递增；
∴|2x-1|＞|x+1|；
∴（2x-1）²＞（x+1）²；
解得x＜0，或x＞2；
∴x的取值范围为（-∞，0）∪（2，+∞）．
故答案为：（-∞，0）∪（2，+∞）．

点评 考查二次函数、反比例函数及对数函数的单调性，以及复合函数单调性的判断，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，以及偶函数的定义及判断方法，根据增函数的定义解不等式的方法．