Question

16．设一四棱锥的体积为V，那么由各棱中点连线所组成的十面体的体积为$\frac{5V}{8}$．

Answer 1

分析 作出直观图，则十面体的体积为四棱锥的体积减去5个小棱锥的体积．根据相似比及三角形的面积公式得出小棱锥的体积．使用作差法求出十面体的体积．

解答 解：设四棱锥S-ABCD的底面积为S，高为h，则V=$\frac{1}{3}Sh$．
∴S_{四边形EFGH}=$\frac{1}{4}S$，
∴S_△AMN+S_△CPQ=$\frac{1}{4}S$，S_△BPN+S_△DMQ=$\frac{1}{4}S$，
∴V_棱锥S-EFGH=$\frac{1}{3}$•S_{四边形EFGH}$•\frac{1}{2}h$=$\frac{1}{3}×\frac{S}{4}×\frac{h}{2}=\frac{V}{8}$．
V_棱锥E-AMN+V_棱锥G-CPQ=$\frac{1}{3}•$（S_△AMN+S_△CPQ）$•\frac{1}{2}h$=$\frac{V}{8}$，
V_棱锥H-DMQ+V_棱锥F-BNP=$\frac{1}{3}•$（S_△BPN+S_△DMQ）$•\frac{1}{2}h$=$\frac{V}{8}$．
∴十面体的体积为V-V_棱锥S-EFGH-V_棱锥E-AMN-V_棱锥G-CPQ-V_棱锥H-DMQ-V_棱锥F-BNP=$\frac{5V}{8}$．
故答案为：$\frac{5V}{8}$．

点评 本题考查了棱锥的结构特征，棱锥的体积计算，属于中档题．