Question

4．如图，B、D是以AC为直径的圆上的两点，其中$AB=\sqrt{t+1}$，$AD=\sqrt{t+2}$，则$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{BD}$=（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． t
• D． 2t

Answer 1

分析 可连接CD，CB，从而得到CD⊥AD，BC⊥AB，这便可得到$|\overrightarrow{AC}|cos∠DAC=|\overrightarrow{AD}|$，$|\overrightarrow{AC}|cos∠BAC=|\overrightarrow{AB}|$，从而得出$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=$|\overrightarrow{AD}{|}^{2}-|\overrightarrow{AB}{|}^{2}$，带入$AD=\sqrt{t+2}，AB=\sqrt{t+1}$便可求出$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$的值．

解答 解：如图，连接CD，CB；
∵AC为直径；
∴CD⊥AD，BC⊥AB；
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}•（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}）$
=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$
=$|\overrightarrow{AC}|cos∠DAC•|\overrightarrow{AD}|-|\overrightarrow{AC}|cos∠BAC•|\overrightarrow{AB}|$
=$|\overrightarrow{AD}{|}^{2}-|\overrightarrow{AB}{|}^{2}$
=t+2-（t+1）
=1．
故选A．

点评 考查直径所对的圆周角为直角，余弦函数的定义，以及向量减法的几何意义，向量数量积的运算及其计算公式．