Question

12．已知△ABC的周长为$\sqrt{2}+1$，面积为$\frac{1}{6}sinC$，且$sinA+sinB=\sqrt{2}sinC$，则角C的值为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 由正弦定理得出a+b=$\sqrt{2}c$，结合周长得出c和a+b，根据面积公式得出ab，利用余弦定理计算cosC．

解答 解：∵$sinA+sinB=\sqrt{2}sinC$，∴a+b=$\sqrt{2}c$．
∵a+b+c=$\sqrt{2}+1$，∴$\sqrt{2}c+c=\sqrt{2}+1$，解得c=1．∴a+b=$\sqrt{2}$．
∵S=$\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{6}sinC$，∴ab=$\frac{1}{3}$．
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{（a+b）^{2}-2ab-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$．
∴C=$\frac{π}{3}$．
故答案为$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查了正余弦定理在解三角形的应用，属于中档题．