Question

15．已知椭圆G：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，左顶点为A，上顶点为E，O是坐标原点，△OAE面积为$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆G的方程；
（2）若过椭圆G的右焦点作垂直于x轴的直线m与G在第一象限内交于点M，平行于AM的直线l与椭圆G相交于B，C两点，判断直线MB，MC是否关于直线m对称，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式和实际行动面积公式，及a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）求得椭圆的右焦点坐标，M，A的坐标，求得斜率．可设BC的方程为y=$\frac{1}{2}$x+t，代入椭圆方程3x²+4y²=12，
可得x²+tx+t²-3=0，设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），运用韦达定理和直线的斜率公式，可得k_MB+k_MC=0，进而得到直线MB和直线MC关于直线m对称．

解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
由A（-a，0），E（0，b），
可得△OAE面积为$\sqrt{3}$，
即有$\frac{1}{2}$ab=$\sqrt{3}$，
又a²-b²=c²，
解得a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）椭圆的右焦点为（1，0），
可得M（1，$\frac{3}{2}$），A（-2，0），k_AM=$\frac{\frac{3}{2}-0}{1+2}$=$\frac{1}{2}$，
设BC的方程为y=$\frac{1}{2}$x+t，代入椭圆方程3x²+4y²=12，
可得x²+tx+t²-3=0，
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=-t，x₁x₂=t²-3，
由k_MB+k_MC=$\frac{{y}_{1}-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{\frac{1}{2}{x}_{1}+t-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{\frac{1}{2}{x}_{2}+t-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}$
=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-2t+3+（t-2）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$=$\frac{{t}^{2}-3-2t+3-{t}^{2}+2t}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$=0．
即有直线MB和直线MC关于直线m对称．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，考查运算能力，属于中档题．