Question

16．甲、乙两人进行定点投篮比赛，在距篮筐3米线内设一点A，在点A处投中一球得2分，不中得0分，在距篮筐3米线段外设一点B，在点B处投中一球得3分，不中得0分，已知甲乙两人在A点投中的概率都是$\frac{1}{2}$，在B点投中的概率都是$\frac{1}{3}$，且在A，B两点处投中与否相互独立，设定甲乙两人现在A处各投篮一次，然后在B处各投篮一次，总得分高者获胜．
（Ⅰ）求甲投篮总得分ξ的分布列和数学期望；
（Ⅱ）求甲获胜的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得ξ的可能取值为0，2，3，5，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得乙投篮总得分X的分布列，由此能求出甲获胜的概率．

解答 解：（Ⅰ）由已知得ξ的可能取值为0，2，3，5，
P（ξ=0）=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$，
P（ξ=2）=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$，
P（ξ=3）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，
P（ξ=5）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	2	3	5
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

Eξ=$0×\frac{1}{3}+2×\frac{1}{3}+3×\frac{1}{3}+5×\frac{1}{6}$=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得乙投篮总得分X的分布列为：

X	0	2	3	5
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

∴甲获胜的概率p=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}×（\frac{1}{3}+\frac{1}{3}）$+$\frac{1}{6}（\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}）$=$\frac{13}{36}$．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．