Question

15．求满足下列各条件的复数z．
（1）$\overline{z}$i=i-1；                （2）z²-z+2=0；
（3）|z|-$\overline{z}$=$\frac{10}{1-2i}$；              （4）z²=7+24i．

Answer 1

分析 （1）把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得答案；
（2）直接利用求根公式求解；
（3）设出z=a+bi（a，b∈R），代入|z|-$\overline{z}$=$\frac{10}{1-2i}$，整理后可得关于a，b的方程组，求解方程组得答案；
（4）设出z=a+bi（a，b∈R），代入z²=7+24i，由复数相等的条件求得a，b的值得答案．

解答 解：（1）由$\overline{z}$i=i-1，得$\overline{z}=\frac{-1+i}{i}=\frac{（-1+i）（-i）}{-{i}^{2}}=1+i$，
∴$z=\overline{\overline{z}}=1-i$；
（2）由z²-z+2=0，得z=$\frac{1±\sqrt{7}i}{2}$；
（3）设z=a+bi（a，b∈R），则$|z|=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}，\overline{z}=a-bi$，
代入|z|-$\overline{z}$=$\frac{10}{1-2i}$，得$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}-a+bi=\frac{10（1+2i）}{（1-2i）（1+2i）}$=2+4i，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}-a=2}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=4}\end{array}\right.$，则z=3+4i；
（4）设z=a+bi（a，b∈R），则由z²=7+24i，
得a²-b²+2abi=7+24i，即$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-{b}^{2}=7}\\{2ab=24}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴z=4+3i或z=-4-3i．

点评 本题考查复数代数形式的混合运算，考查了复数相等的条件，训练了实系数一元二次方程的求法，是中档题．