Question

3．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右顶点为A，P是椭圆C上一点，O为坐标原点．已知∠POA=60°，且OP⊥AP，则椭圆C的离心率为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由题意得|OP|=|OA|cos60°=$\frac{a}{2}$，从而P（$\frac{a}{4}，\frac{\sqrt{3}a}{4}$），代入椭圆方程得a=$\frac{\sqrt{5}}{2}c$，由此能求出离心率．

解答 解：∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右顶点为A，P是椭圆C上一点，O为坐标原点．
∠POA=60°，且OP⊥AP，
∴由题意得|OP|=|OA|cos60°=$\frac{a}{2}$，
∴由题意得P（$\frac{a}{4}，\frac{\sqrt{3}a}{4}$），代入椭圆方程得：$\frac{1}{16}+\frac{3{a}^{2}}{16{b}^{2}}=1$，
∴a²=5b²=5（a²-c²），
∴a=$\frac{\sqrt{5}}{2}c$，
∴离心率e=$\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．