Question

13．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{x+y-3≤0}\\{y≥1}\end{array}\right.$若目标函数z=2x+y的最小值为a，最大值为b，则函数y=x-$\frac{4}{x}$在[a，b]上的值域为（　　）

• A． （-∞，3）
• B． [3，$\frac{21}{5}$]．
• C． [-3，3]
• D． [5，+∞）

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得a，b的值，再由函数的单调性求得函数y=x-$\frac{4}{x}$在[a，b]上的值域．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{x+y-3≤0}\\{y≥1}\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$，解得A（-1，1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x+y-3=0}\end{array}\right.$，解得B（2，1），
化目标函数z=2x+y为y=-2x+z，
由图可知，当直线y=-2x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为-1，
当直线y=-2x+z过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为5．
即a=-1，b=5，
函数y=x-$\frac{4}{x}$在[-1，5]上为增函数，最小值为3，最大值为$\frac{21}{5}$．
∴函数y=x-$\frac{4}{x}$在[-1，5]上的值域为[3，$\frac{21}{5}$]．
故选：B．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了利用函数的单调性求函数的最值，是中档题．