Question

8．设函数f（x）=log₇$\frac{x+3}{x-1}$，g（x）=log₇（x-1）+log₇（5-x），F（x）=f（x）+g（x）
（1）求函数F（x）的定义域；
（2）若F（a）＞1，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的性质得到关于x的不等式组，解出即可；（2）问题转化为${log}_{7}^{（\frac{a+3}{a-1}）（a-1）（5-a）}$＞1，求出a的范围即可．

解答 解：∵f（x）=log₇$\frac{x+3}{x-1}$，g（x）=log₇（x-1）+log₇（5-x），
∴F（x）=f（x）+g（x）=log₇$\frac{x+3}{x-1}$+log₇（x-1）+log₇（5-x），
（1）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+3}{x-1}＞0}\\{x-1＞0}\\{5-x＞0}\end{array}\right.$，解得：1＜x＜5，
∴函数F（x）的定义域是（1，5）；
（2）若F（a）＞1，即${log}_{7}^{（\frac{a+3}{a-1}）（a-1）（5-a）}$＞1，（1＜a＜5），
∴（a+3）（a-5）＜7，解得：1-$\sqrt{23}$＜a＜1+$\sqrt{23}$，
而1＜a＜5，
故1＜a＜5．

点评 本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．