Question

18．已知由正数组成的两个数列{a_n}，{b_n}，如果a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2b_n²x+a_nb_nb_n+1=0的两根．
（1）求证：{b_n}为等差数列；
（2）己知a₁=2，a₂=6，分别求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（3）求数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$+b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由题意知a_n+a_n+1=2b_n²，a_na_n+1=a_nb_nb_n+1，从而化简可得b_n-1+b_n+1=2b_n，从而证明；
（2）由题意可得b₁=2，b₂=3，从而求得b_n=n+1，a_n=b_n-1b_n=n（n+1）；
（3）化简$\frac{1}{{a}_{n}}$+b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$+n+1，从而利用裂项求和法及拆项求和法求和．

解答 解：（1）证明：∵a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2b_n²x+a_nb_nb_n+1=0的两根，
∴a_n+a_n+1=2b_n²，a_na_n+1=a_nb_nb_n+1，
即a_n+a_n+1=2b_n²，a_n+1=b_nb_n+1，
故b_n-1b_n+b_nb_n+1=2b_n²，
故b_n-1+b_n+1=2b_n，
故{b_n}为等差数列；
（2）∵a₁=2，a₂=6，
∴b₁=2，b₂=3，
∴b_n=n+1，
∴a_n=b_n-1b_n=n（n+1）；
（3）$\frac{1}{{a}_{n}}$+b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$+n+1=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$+n+1，
故S_n=（1-$\frac{1}{2}$+2）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+3）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+4）+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$+n+1）
=（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）+（2+3+4+…+n+1）
=（1-$\frac{1}{n+1}$）+$\frac{2+n+1}{2}$n
=$\frac{n}{n+1}$+$\frac{n（n+3）}{2}$．

点评 本题考查了等差数列的判断与应用，同时考查了裂项求和法与拆项求和法的应用．