Question

9．已知函数$f（x）=Asin（wx+φ）（A＞0，w＞0，|φ|）＜\frac{π}{2}）$的图象的一个最高点的坐标为$（\frac{π}{6}，2）$，与其相邻的一个最低点的坐标为$（\frac{2π}{3}，-2）$
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调增区间及对称轴方程．

Answer 1

分析 （1）由题意，根据图象相邻的最高点与最低点的坐标，我们可以得到函数的最大值，最小值，周期，进而求出A，ω，φ值后，即可得到函数解析式．
（2）由2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得f（x）的单调增区间，令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得f（x）的对称轴方程．

解答 解：（1）由题意知A=2，
周期T=2（$\frac{2π}{3}$$-\frac{π}{6}$）=π，ω=$\frac{2π}{π}$=2，
∴y=2sin（2x+φ），
∵2=2sin（2×$\frac{π}{6}$+φ），可得：φ$+\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴|φ|$＜\frac{π}{2}$，可得：φ=$\frac{π}{6}$，
∴解析式为：y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）∵由2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∴f（x）的单调增区间为：[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
∴令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
故f（x）的对称轴方程为x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z．

点评 本题考查的知识点是正弦型函数的解析式的求法，其中熟练掌握正弦函数的性质与系数的关系是解答本题的关键．