Question

14．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，a²+b²=6abcosC，且sin²C=2sinAsinB．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若点M是△ABC中角C的外角内的一点，且CM=2，过点M作MF⊥BC，ME⊥AC，垂足分别为F，E，求MF+ME的最大值．

Answer 1

分析 （I）根据正弦定理得出c²=2ab，再使用余弦定理得出关于cosC的方程，解出cosC；
（II）设∠MCF=α，则∠MCE=$\frac{2π}{3}-α$，根据三角函数定义得出ME，MF，根据正弦函数的性质和α的范围得出最大值．

解答 解：（I）∵sin²C=2sinAsinB，
∴c²=2ab．
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{6abcosC-2ab}{2ab}$=3cosC-1．
∴cosC=$\frac{1}{2}$．
∴C=$\frac{π}{3}$．
（II）设∠MCF=α，则∠MCE=$\frac{2π}{3}-α$，
∴MF+ME=CMsinα+CMsin（$\frac{2π}{3}-α$）=2sinα+2sin（$\frac{2π}{3}-α$）=3sinα+$\sqrt{3}$cosα=2$\sqrt{3}$sin（α+$\frac{π}{6}$）．
∵0$＜α＜\frac{2π}{3}$，
∴当α=$\frac{π}{3}$时，MF+ME取得最大值2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，正弦函数的图象与性质，属于中档题．