Question

3．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=l（a＞b＞0），F₁、F₂为左右焦点，下顶点为B₁，过F的直线l交椭圆于M、N两点，当直线l的倾斜角为$\frac{π}{6}$时，F₁B⊥l．
（I）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若P为椭圆上一动点，直线PM、PN的斜率记为k_PM、k_PN，且不为零，当直线l垂直于x轴时，$|\frac{1}{{{k_{PM}}}}-\frac{1}{{{k_{PN}}}}|$是否存在最小值？若存在，试求出该最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得F₁（-c，0），B₁（0，-b），由题意知${k}_{{F}_{1}{B}_{1}}•{k}_{l}=-1$，从而b=$\sqrt{3}c$，由此能求出椭圆C的离心率．
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），（x₀≠±c），M（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），N（c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），则$\frac{1}{{k}_{PM}}-\frac{1}{{k}_{PN}}$=$\frac{-2a}{{x}_{0}+c}$，由此能求出$|\frac{1}{{{k_{PM}}}}-\frac{1}{{{k_{PN}}}}|$存在最小值$\frac{4}{3}$．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=l（a＞b＞0），F₁、F₂为左右焦点，下顶点为B₁，
∴F₁（-c，0），B₁（0，-b），
∵过F的直线l交椭圆于M、N两点，当直线l的倾斜角为$\frac{π}{6}$时，F₁B⊥l，
∴由题知F₁B₁⊥l，∴${k}_{{F}_{1}{B}_{1}}•{k}_{l}=-1$，
∴$\frac{b}{-c}=-\sqrt{3}$，∴b=$\sqrt{3}c$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{c}{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}$=$\frac{c}{2c}$=$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），（x₀≠±c），M（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），N（c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），
则$\frac{1}{{k}_{PM}}-\frac{1}{{k}_{PN}}$=$\frac{{x}_{0}-c}{{y}_{0}-\frac{{b}^{2}}{a}}$-$\frac{{x}_{0}-c}{{y}_{0}+\frac{{b}^{2}}{a}}$=$\frac{（{x}_{0}-c）•2a{b}^{2}}{{a}^{2}{{y}_{0}}^{2}-{b}^{2}}$，
又P∈C，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，得${a}^{2}{{y}_{0}}^{2}={a}^{2}{b}^{2}-{b}^{2}{{x}_{0}}^{2}$，
∴$\frac{1}{{k}_{PM}}-\frac{1}{{k}_{PN}}$=$\frac{（{x}_{0}-c）•2a{b}^{2}}{{a}^{2}{{y}_{0}}^{2}-{b}^{4}}$=$\frac{（{x}_{0}-c）•2a{b}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}-{b}^{2}{{x}_{0}}^{2}-{b}^{4}}$
=$\frac{（{x}_{0}-c）•2a{b}^{2}}{{b}^{2}{c}^{2}-{b}^{2}{{x}_{0}}^{2}}$=$\frac{（{x}_{0}-c）•2a}{{c}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}$=$\frac{-2a}{{x}_{0}+c}$，
∴|$\frac{1}{{k}_{PM}}-\frac{1}{{k}_{PN}}$|=|$\frac{-2a}{{x}_{0}+c}$|=$\frac{2}{|\frac{{x}_{0}}{a}+\frac{1}{2}|}$，
又∵-a≤x₀≤a，且x₀≠±c，
∴-1≤$\frac{{x}_{0}}{a}≤1$，且$\frac{{x}_{0}}{a}≠±\frac{1}{2}$，
∴|$\frac{1}{{k}_{PM}}-\frac{1}{{k}_{PN}}$|=$\frac{2}{|\frac{{x}_{0}}{a}+\frac{1}{2}|}$≥$\frac{2}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{4}{3}$．
∴$|\frac{1}{{{k_{PM}}}}-\frac{1}{{{k_{PN}}}}|$存在最小值$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查椭圆离心率的求法，考查两线段倒数之差的绝对值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．