Question

6．已知向量$\overrightarrow{m}$=（cosωx，a），$\overrightarrow{n}$=（a，2+$\sqrt{3}$sinωx），ω＞0，函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-5（a∈R，a≠0）．
（1）当函数f（x）在x∈R上的最大值为3时，求a的值；
（2）在（1）的条件下，若函数y=f（x）-1在x∈（0，π]上至少有5个零点，求ω的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用数量积化简函数，通过两角和的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，通过最大值求出a的值；
（2）由（1）可得y=f（x）-1=6sin（ωx+$\frac{π}{6}$），要在x∈（0，π]上至少有5个零点只需在区间（0，π]上出现$\frac{5}{2}$个周期即可，进而求出ω的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-5=acosωx+$\sqrt{3}$asinωx+2a-5，…（1分）
=2asin（ωx+$\frac{π}{6}$）+2a-5，…（3分）
由当sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）=1时y_max=2+2a-5=3，得a=3…（6分）
（2）∵由（1）可得：f（x）=6sin（ωx+$\frac{π}{6}$）+1，
∴y=f（x）-1=6sin（ωx+$\frac{π}{6}$），
∵函数y=f（x）-1在x∈（0，π]上至少有5个零点，
∴$\frac{5T}{2}$=$\frac{5}{2}×\frac{2π}{ω}$≤π，解得：ω≥5，
∴ω的最小值为5．…（12分）

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．