Question

20．在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠APB=90°，点M是线段AB上的一点，且PM⊥CD，AB=BC=2PB=2AD=4BM．
（1）证明：平面PAB⊥平面ABCD；
（2）求平面ABCD与平面PCD所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知条件推导出PM⊥AB，从而得到PM⊥面ABCD，由此能证明面PAB⊥面ABCD．
（2）根据二面角的定义，作出二面角的平面角，结合三角形的边角关系进行求解即可．

解答 （1）证明：∵AB=2PB=4BM，∴PM⊥AB，
又∵PM⊥CD，且AB∩CD，
∴PM⊥面ABCD，
∵PM?面PAB．∴面PAB⊥面ABCD．
（2）过点M作MH⊥CD，连结HP，
∵PM⊥CD，且PM∩MH=M，
∴CD⊥平面PMH，
∴CD⊥PH，
则∠PHM是二面角平面PCD与平面ABCD所成角的平面角，
在四棱锥P-ABCD中，设AB=2t，
则DM=$\frac{\sqrt{13}}{2}$t，PM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，MH=$\frac{7\sqrt{5}}{10}$t，
∴PH=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$t，
从而cos∠PHM=$\frac{HM}{PH}$=$\frac{\frac{7\sqrt{5}}{10}t}{\frac{4\sqrt{5}}{5}t}$=$\frac{7}{8}$，
即平面ABCD与平面PCD所成的锐二面角的余弦值是$\frac{7}{8}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．利用定义法作出二面角的平面角是解决本题的关键．