Question

9．已知函数f（x）=x³-ax²+4，若f（x）的图象与x轴正半轴有两个不同的交点，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （$\frac{3}{2}$，+∞）
• C． （2，+∞）
• D． （3，+∞）

Answer 1

分析 利用参数分离法，进行转化，构造函数，求函数的导数，研究函数的极值即可得到结论．

解答 解：由题意可知f（x）=x³-ax²+4=0，即a=x+$\frac{4}{{x}^{2}}$有两个不等的正根，
设h（x）=x+$\frac{4}{{x}^{2}}$，x＞0，
则h′（x）=1-$\frac{8}{{x}^{3}}$=$\frac{{x}^{3}-8}{{x}^{3}}$，
令h′（x）=0，得x=2，
由h′（x）＞0得x＞2，此时函数单调递增，
由h′（x）＜0得，0＜x＜2，此时函数单调递减，
即在x=2处取得极小值h（2）=2+$\frac{4}{{2}^{2}}$=2+1=3，
结合h（x）的图象可得a＞3，
故选D

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法，构造函数，研究函数的极值，结合数形结合是解决本题的关键．