Question

4．已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，且C=$\frac{π}{3}$．
（1）若c=$\sqrt{3}$a，求sinC+sin（B-A）的值；
（2）若△ABC的面积为$\sqrt{3}$，周长为6，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 （1）由已知可求得sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由c=$\sqrt{3}$a，利用正弦定理可得：sinC=$\sqrt{3}$sinA，解得sinA=$\frac{1}{2}$，从而可求A，B的值，利用特殊角的三角函数值即可得解．
（2）利用三角形面积公式可求得ab=4，由余弦定理可得c²=（a+b）²-12，又周长为6=a+b+c，解得c²=36+（a+b）²-12（a+b），联立，解得a=b=c=2，从而得解．

解答 解：（1）∵C=$\frac{π}{3}$．sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴由c=$\sqrt{3}$a，利用正弦定理可得：sinC=$\sqrt{3}$sinA，解得：sinA=$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{π}{6}$，B=π-A-C=$\frac{π}{2}$，
∴sinC+sin（B-A）=sin$\frac{π}{3}$+sin（$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
（2）∵C=$\frac{π}{3}$，△ABC的面积为$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab，解得：ab=4，
∴由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab=（a+b）²-12，①
又∵周长为6=a+b+c，解得：c=6-（a+b），两边平方可得：c²=36+（a+b）²-12（a+b），②
∴①②联立，解得：（a+b）²-12=36+（a+b）²-12（a+b），整理可得：a+b=4，解得：c=2．
∴解得：a=b=c=2，故三角形为等边三角形．

点评 本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．