Question

3．已知直线x-9y-8=0与曲线C：y=x³-px²+3x相交于A，B，且曲线C在A，B处的切线平行，则实数p的值为（　　）

• A． 4
• B． 4或-3
• C． -3或-1
• D． -3

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，设出A，B点的坐标，得到函数在A，B点处的导数值，由A，B点处的导数值相等得到3x₁²-2px₁+3=3x₂²-2px₂+3=m，把x₁，x₂看作方程3x²-2px+3-m=0的两个根，利用根与系数关系得到x₁+x₂=$\frac{2}{3}$p，进一步得到AB的中点坐标，然后再证明AB的中点在曲线C上，最后由AB中点的纵坐标相等求得实数p的值，注意检验．

解答 解：由y=x³-px²+3x，得y′=3x²-2px+3，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则曲线C在A，B处的切线的斜率分别为3x₁²-2px₁+3，
3x₂²-2px₂+3，
∵曲线C在A，B处的切线平行，
∴3x₁²-2px₁+3=3x₂²-2px₂+3，
令3x₁²-2px₁+3=3x₂²-2px₂+3=m，
∴x₁，x₂是方程3x²-2px+3-m=0的两个根，
则x₁+x₂=$\frac{2}{3}$p，
下面证线段AB的中点在曲线C上，
∵$\frac{{{x}_{1}}^{3}-p{{x}_{1}}^{2}+3{x}_{1}+{{x}_{2}}^{3}-p{{x}_{2}}^{2}+3{x}_{2}}{2}$
=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-3{x}_{1}{x}_{2}]-p[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}]+3（{x}_{1}+{x}_{2}）}{2}$
=$\frac{2p-\frac{4}{27}{p}^{3}}{2}$=p-$\frac{2}{27}$p³，
而（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）³-p（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）²+3•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{1}{27}$p³-$\frac{1}{9}$p³+p
=p-$\frac{2}{27}$p³，
∴线段AB的中点在曲线C上，
由x₁+x₂=$\frac{2}{3}$p，知线段的中点为（$\frac{1}{3}$p，$\frac{1}{9}$（$\frac{1}{3}$p-8）），
∴-$\frac{8}{9}$+$\frac{1}{27}$p=p-$\frac{2}{27}$p³，解得p=-1，-3或4．
当p=-1时，y=x³+x²+3x的导数为y′=3x²+2x+3＞0恒成立，
即函数为递增函数，直线与曲线只有一个交点，舍去；
p=-3，或4时，y=x³+3x²+3x单调，不成立．
p=4时，y=x³-px²+3x不单调，成立．
故选：A．

点评 本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，求解该题的关键是利用AB中点的坐标相等，关键是证明AB的中点在曲线C上，是中档题．