Question

6．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）-2cos²（$\frac{1}{4}$x+$\frac{π}{12}$），则不等式f（x）＞0的解集是{x|4kπ+$\frac{π}{3}$＜x＜$\frac{5π}{3}$+4kπ，k∈Z}．

Answer 1

分析 求出函数f（x）=2sin$\frac{1}{2}x$，由此能求出不等式f（x）＞0的解集．

解答 解：∵函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）-2cos²（$\frac{1}{4}$x+$\frac{π}{12}$）
=$\sqrt{3}$sin（$\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}$）-cos（$\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}$）-1
=2sin$\frac{1}{2}x$-1，
∴不等式f（x）＞0，即2sin$\frac{1}{2}x$-1＞0满足：
2kπ+$\frac{π}{6}$$＜\frac{1}{2}x$＜$\frac{5π}{6}$+2kπ，k∈Z，
∴4kπ+$\frac{π}{3}$＜x＜$\frac{5π}{3}$+4kπ，k∈Z，
∴不等式f（x）＞0的解集是{x|4kπ+$\frac{π}{3}$＜x＜$\frac{5π}{3}$+4kπ，k∈Z}．
故答案为：{x|4kπ+$\frac{π}{3}$＜x＜$\frac{5π}{3}$+4kπ，k∈Z}．

点评 本题考查三角函数不等式的解集，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数恒等式的合理运用．