Question

11．已知过圆锥顶点S作截面SAB与底面成60°的二面角，且A、B分底面圆周为1：2的弧度，已知截面SAB的面积为24$\sqrt{3}$，求：
（1）底面圆心到平面SAB的距离．
（2）母线与底面所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）∠AOB=120°，用底面半径表示出AB和SC，根据面积求出底面半径，利用二面角得出圆锥额高SO，根据等积法求出O到平面SAB的距离；
（2）根据圆锥的高与底面半径的比值求出线面角．

解答 解：（1）∵A、B分底面圆周为1：2的圆弧，∴∠AOB=120°，
过O作OC⊥AB于C，连结SC，则∠SCO=60°，
设底面半径OA=r，则OC=$\frac{1}{2}r$，AB=2$\sqrt{{r}^{2}-\frac{{r}^{2}}{4}}$=$\sqrt{3}r$，SC=2OC=r，∴SO=$\frac{\sqrt{3}}{2}r$，
∵S_△SAB=$\frac{1}{2}AB×SC$=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}r×r$=24$\sqrt{3}$，∴r=4$\sqrt{3}$．∴SO=6，
设圆心O到平面SAB的距离为h，
则V_棱锥S-OAB=$\frac{1}{3}{S}_{△OAB}•SO$=$\frac{1}{3}{S}_{△SAB}•h$．
∴h=$\frac{{S}_{△OAB}•SO}{{S}_{△SAB}}$=$\frac{\frac{1}{2}×（4\sqrt{3}）^{2}×sin120°×6}{24\sqrt{3}}$=3．
即底面圆心到平面SAB的距离为3．
（2）在Rt△SOB中，tan∠SBO=$\frac{SO}{OB}$=$\frac{6}{4\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴∠SBO=arctan$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
即母线与底面所成角的大小为arctan$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了圆锥的结构特征，棱锥的体积计算，属于中档题．