Question

3．如图，椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，点$（\sqrt{3}，\sqrt{2}）$为椭圆上的一点．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）若斜率为k的直线l过点A（0，1），且与椭圆E交于C，D两点，B为椭圆E的下顶点，求证：对于任意的k，直线BC，BD的斜率之积为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，以及点在直线上满足直线方程，化简整理，即可得到定值．

解答 解：（Ⅰ）∵$e=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，∴$c=\frac{{\sqrt{3}}}{3}a$，∴${a^2}={b^2}+（\frac{{\sqrt{3}}}{3}a{）^2}$①，
又椭圆过点$（\sqrt{3}，\sqrt{2}）$，∴$\frac{3}{a^2}+\frac{2}{b^2}=1$②
由①②解得a²=6，b²=4，
所以椭圆E的标准方程为$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{4}=1$；
（Ⅱ）证明：设直线l：y=kx+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{4}=1\\ y=kx+1\end{array}\right.$得：（3k²+2）x²+6kx-9=0，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
则有${x_1}+{x_2}=-\frac{6k}{{3{k^2}+2}}$，${x_1}{x_2}=-\frac{9}{{3{k^2}+2}}$．
易知B（0，-2），
故${k_{BC}}•{k_{BD}}=\frac{{{y_1}+2}}{x_1}•\frac{{{y_2}+2}}{x_2}=\frac{{k{x_1}+3}}{x_1}•\frac{{k{x_2}+3}}{x_2}=\frac{{{k^2}{x_1}{x_2}+3k（{x_1}+{x_2}）+9}}{{{x_1}{x_2}}}$
=${k^2}+\frac{{3k（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}}}+\frac{9}{{{x_1}{x_2}}}={k^2}+3k•\frac{2k}{3}-（3{k^2}+2）=-2$为定值．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，考查运算能力，属于中档题．