Question

19．如图，在等腰直角三角形ABC，∠C=90°，点D在线段AB上，且AD=$\frac{1}{3}$AB，延长线段CD至点E，使DE=CD，求cos∠CBE．

Answer 1

分析 不妨设AC=1，则AD=$\frac{1}{3}AB$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，BD=$\frac{2}{3}AB$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，在△BCD中，由余弦定理可得：CD²=$（\frac{2\sqrt{2}}{3}）^{2}+{1}^{2}-2×\frac{2\sqrt{2}}{3}×1×cos4{5}^{°}$=$\frac{5}{9}$，解得CD．由余弦定理可得：cos∠BCD．在△BCE中，由余弦定理可得BE．由余弦定理可得：cos∠CBE．

解答 解：在腰直角△ABC中，不妨设AC=1，则AD=$\frac{1}{3}AB$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，BD=$\frac{2}{3}AB$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
在△BCD中，由余弦定理可得：CD²=$（\frac{2\sqrt{2}}{3}）^{2}+{1}^{2}-2×\frac{2\sqrt{2}}{3}×1×cos4{5}^{°}$=$\frac{5}{9}$，解得CD=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
由余弦定理可得：cos∠BCD=$\frac{{1}^{2}+（\frac{\sqrt{5}}{3}）^{2}-（\frac{2\sqrt{2}}{3}）^{2}}{2×1×\frac{\sqrt{5}}{3}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
在△BCE中，由余弦定理可得：BE²=${1}^{2}+（\frac{2\sqrt{5}}{3}）^{2}$-$2×1×\frac{2\sqrt{5}}{3}$cos∠BCE=$\frac{17}{9}$，解得BE=$\frac{\sqrt{17}}{3}$．
由余弦定理可得：cos∠CBE=$\frac{\frac{17}{9}+1-（\frac{2\sqrt{5}}{3}）^{2}}{2×\frac{\sqrt{17}}{3}×1}$=$\frac{\sqrt{17}}{17}$．
∴DE=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查了余弦定理、等腰直角三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．