Question

1．z是复数，z+i，z-3i是实系数一元二次方程x²+tx+4=0（t∈R）的两个虚根．
（1）求t的值．
（2）设ω=z+cosθ+isinθ，求|ω|取值范围．

Answer 1

分析 （1）设z=a+bi，则b+1=3-b，从而实系数一元二次方程x²+tx+4=0（t∈R）的两个虚根是a±2i，由此能求出z=i，t=0．
（2）由（1）得|ω|=$\sqrt{co{s}^{2}θ+（1+sinθ）^{2}}$=$\sqrt{2+2sinθ}$，由此能求出|ω|的值．

解答 解：（1）∵z是复数，z+i，z-3i是实系数一元二次方程x²+tx+4=0（t∈R）的两个虚根，
∴设z=a+bi，则z+i，z-3i分别是a+（b+1）i，a+（b-3）i，
∴b+1=3-b 所以b=1，
∴实系数一元二次方程x²+tx+4=0（t∈R）的两个虚根是a±2i，
∴4=（a+2i）（a-2i）=a²+4，-t=（a+2i）+（a-2i）=2a，
∴a=0，t=0，
∴z=i，t=0．
（2）由（1）得ω=z+cosθ+isinθ=i+cosθ+isinθ，
∴|ω|=$\sqrt{co{s}^{2}θ+（1+sinθ）^{2}}$=$\sqrt{co{s}^{2}θ+1+si{n}^{2}θ+2sinθ}$=$\sqrt{2+2sinθ}$，
∵-1≤sinθ≤1，
∴|ω|=$\sqrt{2+2sinθ}$的取值范围是[0，2]．

点评 本题考查实数值的求法，考查复数的模的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数性质的合理运用．