Question

20．设函数f（x）=sinxcosx-$\sqrt{3}$cos（π-x）cosx（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）求f（x）的增区间．

Answer 1

分析 （1）化简函数f（x），利用三角函数的图象与性质求出f（x）的最小正周期与最大值；
（2）根据正弦函数的单调性，求出函数f（x）的增区间．

解答 解：（1）函数f（x）=sinxcosx-$\sqrt{3}$cos（π-x）cosx
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\sqrt{3}$cos²x
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π；
又-1≤sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤1，
∴f（x）的最大值为1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
即-$\frac{5π}{6}$+2kπ≤2x≤$\frac{π}{6}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{5π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{π}{12}$+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的增区间是[-$\frac{5π}{12}$+kπ，$\frac{π}{12}$+kπ]，k∈Z．

点评 本题考查了三角函数的化简与运算问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．