Question

5．若函数f（x），g（x）满足${∫}_{-a}^{a}$f（x）g（x）dx=0（a＞0），则称f（x），g（x）为区间[-a，a]上的一组“垂交函数”．下面给出三组函数：①f（x）=x²-x-2，g（x）=x；②f（x）=sin$\frac{1}{2}$x，g（x）=cos$\frac{1}{2}$x；③f（x）=e^x，g（x）=x+1．
其中为区间[-1，1]上的“垂交函数”的组数是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 对于①：${∫}_{-1}^{1}$f（x）g（x）dx=${∫}_{-1}^{1}$（x³-x²-2x）dx=-$\frac{2}{3}$≠0；对于②：${∫}_{-1}^{1}$f（x）g（x）dx=${∫}_{-1}^{1}$$\frac{1}{2}sinx$dx=0；对于③：${∫}_{-1}^{1}$f（x）g（x）dx=[（x+1）e^x-e^x]${|}_{-1}^{1}$=e-$\frac{1}{e}≠0$．由此能求出结果．

解答 解：对于①：${∫}_{-1}^{1}$f（x）g（x）dx=${∫}_{-1}^{1}$（x³-x²-2x）dx
=（$\frac{{x}^{4}}{4}$-$\frac{{x}^{3}}{3}$-x²）${|}_{-1}^{1}$=（$\frac{{1}^{4}}{4}-\frac{{1}^{3}}{3}-{1}^{2}$）-[$\frac{（-1）^{4}}{4}-\frac{（-1）^{3}}{3}-（-1）^{2}$]=-$\frac{2}{3}$≠0，
故①不为区间[-1，1]上的“垂交函数”；
对于②：${∫}_{-1}^{1}$f（x）g（x）dx=${∫}_{-1}^{1}$（sin$\frac{1}{2}$xcos$\frac{1}{2}x$）dx
=${∫}_{-1}^{1}$$\frac{1}{2}sinx$dx=$\frac{1}{2}cos{x|}_{-1}^{1}$=$\frac{1}{2}cos1-\frac{1}{2}cos（-1）$=0，
故②为区间[-1，1]上的“垂交函数”；
对于③：${∫}_{-1}^{1}$f（x）g（x）dx=${∫}_{-1}^{1}$（e^x（x+1）dx=[（x+1）e^x-e^x]${|}_{-1}^{1}$=e-$\frac{1}{e}≠0$，
∴③不为区间[-1，1]上的“垂交函数”．
故选：B．

点评 本题考查“垂交函数”的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意“垂交函数”性质、定积分性质的合理运用．