Question

如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA＝AB＝4，
 
G为PD中点，E点在AB上，平面PEC⊥平面PDC.
（Ⅰ）求证：AG⊥平面PCD；
（Ⅱ）求证：AG∥平面PEC；
（Ⅲ）求点G到平面PEC的距离.

Answer 1

（Ⅰ）证明：见解析；（Ⅱ）证明：见解析；（Ⅲ）G点到平面PEC的距离为. 

本试题主要考查了线面的位置关系的运用，点到面的距离的求解。
线面平行的判定和线面垂直的判定的综合运用。
（1）由于CD⊥AD，CD⊥PA    ∴CD⊥平面PAD  ∴CD⊥AG又PD⊥AG，从而由判定定理得到结论。
（2）作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD 
∴EF⊥平面PCD，又由（Ⅰ）知AG⊥平面PCD，故EF∥AG可知线面平行。
（3）由AG∥平面PEC知A、G两点到平面PEC的距离相等
由（Ⅱ）知A、E、F、G四点共面，又AE∥CD 
∴ AE∥平面PCD
∴ AE∥GF，∴ 四边形AEFG为平行四边形，∴ AE＝GF，然后利用转换顶点得到体积的求解。
解（Ⅰ）
，

证明：∵CD⊥AD，CD⊥PA    
∴CD⊥平面PAD  ∴CD⊥AG
又PD⊥AG     
∴AG⊥平面PCD          …………4分
（Ⅱ）证明：作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD 
∴EF⊥平面PCD，又由（Ⅰ）知AG⊥平面PCD 
∴EF∥AG，又AG 面PEC，EF 面PEC，
∴AG∥平面PEC    ………………7分
（Ⅲ）由AG∥平面PEC知A、G两点到平面PEC的距离相等
由（Ⅱ）知A、E、F、G四点共面，又AE∥CD 
∴ AE∥平面PCD
∴ AE∥GF，∴ 四边形AEFG为平行四边形，∴ AE＝GF     ……………8分

∥ ＝

PA＝AB＝4， G为PD中点，FG   CD

∴ FG＝2       ∴ AE＝FG＝2                   ………………………9分
∴                ………………………10分
又EF⊥PC，EF＝AG
∴         ………………………11分
又 ，∴，即，∴
∴ G点到平面PEC的距离为.              ………………………12分网