Question

9．已知函数f（x）=ax³+bx²的图象经过点A（1，3），且函数f（x）在x=-$\frac{4}{3}$处取得极值．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）在[-1，2]的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，求出a，b的值即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数在闭区间上的最值即可．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²+2bx，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=a+b=3}\\{f′（-\frac{4}{3}）=3{a（-\frac{4}{3}）}^{2}+2b（-\frac{4}{3}）=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$；
（2）由（1）知f（x）=x³+2x²，
∴f′（x）=x（3x+4），
令f′（x）＞0，解得：x＞0或x＜-$\frac{4}{3}$，
令f′（x）＜0，解得：-$\frac{4}{3}$＜x＜0，
故函数f（x）在[-1，0]上单调递减，在[0，2]上单调递增，
∵f（-1）=1，f（2）=16，
∴f（x）_min=f（0）=0，f（x）_max=f（2）=16．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．