Question

1．当0＜x≤$\frac{1}{4}$时，16^x＜log_ax，则a的取值范围是（　　）

• A． $（0，\frac{1}{2}）$
• B． $（\frac{1}{2}，1）$
• C． $（1，\sqrt{2}）$
• D． $（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$

Answer 1

分析 由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可．

解答 解：∵0＜x≤$\frac{1}{4}$时，∴1＜16^x≤2．
要使16^x＜log_ax，由对数函数的性质可得0＜a＜1，
数形结合可知只需2＜log_ax，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{lo{g}_{a}{a}^{2}＜lo{g}_{a}x}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{{a}^{2}＞x}\end{array}\right.$ 对0＜x≤$\frac{1}{4}$时恒成立．
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{{a}^{2}＞\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}$＜a＜1．
故选：B．

点评 本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，不等式恒成立问题的一般解法，是中档题．