Question

已知各项均为正数的数列{a_n}，满足

a

2 n+1

-an+1an-2

a

2 n

=0（n∈N^*），且a₁=2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=an•log

1

2

an，若b_n的前n项和为S_n，求S_n；
（3）在（2）的条件下，求使Sn+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由数列递推式得到数列{a_n}为等比数列，直接由等比数列的通项公式得答案；
（2）把（1）中求出的{a_n}的通项公式代入bn=an•log

1

2

an，然后利用错位相减法求出数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）直接把数列{b_n}的前n项和S_n代入Sn+n•2n+1＞50，即可求解使Sn+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值．

解答： 解：（1）∵

a

2 n+1

-an+1an-2

a

2 n

=0，
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-2a_n）=0，
∵数列{a_n}的各项均为正数，
∴a_n+1+a_n＞0，
∴a_n+1-2a_n=0，
即a_n+1=2a_n（n∈N^*），
∴数列{a_n}是以2为公比的等比数列．
∵a₁=2，
∴数列{a_n}的通项公式an=2n；
（2）由（1）及b_n=anlog

1

2

an得，bn=-n•2n，
∵S_n=b₁+b₂+…+b_n，
∴Sn=-2-2•22-3•23-…-n•2n  ①
∴2Sn=-22-2•23-3•24-4•25-…-(n-1)•2n-n•2n+1  ②
②-①得，Sn=2+22+23+24+25+…+2n-n•2n+1
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=(1-n)•2n+1-2；
（3）要使Sn+n•2n+1＞50成立，
只需2ⁿ⁺¹-2＞50成立，
即2ⁿ⁺¹＞52，
∴n≥5．
∴使Sn+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值为5．

点评：本题考查了等比关系的确定，考查了错位相减法求数列的前n项和，考查了指数不等式的解法，是中档题．