Question

已知函数f（x）=e^x（x³+mx²-2x+2）．
（Ⅰ）假设m=-2，求f（x）的极大值与极小值；
（Ⅱ）是否存在实数m，使f（x）在[-2，-1]上单调递增？如果存在，求m的取值范围；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）将m=-2带入f（x），求f′（x），根据极值的定义去判断极值点，并求出极值．
（Ⅱ）先假设存在m，根据函数导数与函数单调性的关系，若f（x）在[-2，-1]上单调递增，则f′（x）在[-2，-1]上满足：f′（x）≥0，所以要求出f′（x），并变成f′（x）=xe^x[x²+（m+3）x+2m-2]．∵xe^x＜0，∴只要x²+（m+3）x+2m-2≤0．∵是在[-2，-1]上单调递增，∴只要满足f′（-2）≤0，且f′（-1）≤0，这样就能求m的范围了．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=e^x（x³-2x²-2x+2）；
∴f′（x）=xe^x（x-2）（x+3）；
∴x∈（-∞，-3）时，f′（x）＜0；x∈（-3，0）时，f′（x）＞0，∴x=-3时，f（x）取到极小值f（-3）=-27e^-3；
x∈（0，2）时，f′（x）＜0，∴x=0时，f（x）取到极大值f（0）=2；
x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，∴x=2时，f（x）取到极小值f（2）=-2e²．
（Ⅱ）f′（x）=xe^x[x²+（m+3）x+2m-2]；
∴要使f（x）在[-2，-1]上单调递增，则：f′（x）＞0，∵xe^x＜0；
只要x²+（m+3）x+2m-2＜0；
∴

(-2)2-2(m+3)+2m-2≤0 (-1)2-(m+3)+2m-2≤0

；
解得m≤4，∴m的取值范围是（-∞，4]．

点评：考查极值的定义以及求解极值的过程，和导数与函数单调性的关系．解决本题的一个关键是：当得出在[-2，-1]上x²+（m+3）x+2m-2≤0时，只要

f′(-2)≤0 f′(-1)≤0

．