Question

设函数f（x）=x--alnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），
当a=3时，f′（x）=1+-=，
令f′（x）=0，解得x=1或x=2，
当0＜x＜1或x＞2时，f′（x）＞0，当1＜x＜2时，f′（x）＜0，
所以当x=1时f（x）取得极大值f（1）=-1，当x=2时f（x）取得极小值f（2）=1-3ln2；
（Ⅱ）f′（x）=1+-=，
令g（x）=x²-ax+2，其判别式△=a²-8，
①当|a|时，△≤0时，f′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＜-2时，△＞0时，g（x）=0的两根都小于0，所以在（0，+∞）上f′（x）＞0，
故f（x）在（0，+∞）上单调递增；
③当a＞2时，△＞0，g（x）=0的两根为：x₁=，x₂=，且都大于0，
当0＜x＜x₁或x＞x₂时f′（x）＞0，当x₁＜x＜x₂时f′（x）＜0，
故f（x）在（0，）和（，+∞）上递增，在（，）上递减，
综上，当a时f（x）（0，+∞）上单调递增；当a＞时，f（x）在（0，）和（，+∞）上递增，在（，）上递减；
分析：（Ⅰ）先求出函数的定义域，当a=3时在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（Ⅱ）f′（x）=，令g（x）=x²-ax+2，其判别式△=a²-8，按△≤0时，△＞0时两种情况解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，△＞0时再按根与0的大小讨论，即共分三种情况进行讨论解不等式即可；
点评：本题考查利用导数研究函数的极值、函数的单调性，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力．