Question

【题目】如图，已知抛物线y2=4x，过点P（2，0）作斜率分别为k1 ， k2的两条直线，与抛物线相交于点A、B和C、D，且M、N分别是AB、CD的中点

（1）若k1+k2=0， ，求线段MN的长；
（2）若k1k2=﹣1，求△PMN面积的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设y1＞0，则

设直线AB的方程为y=k1（x﹣2），代入y2=4x，可得y2﹣ y﹣8=0

∴y1+y2= ，y1y2=﹣8，

∵ ，∴y1=﹣2y2，∴y1=4，y2=﹣2，

∴yM=1，

∵k1+k2=0，

∴线段AB和CD关于x轴对称，

∴线段MN的长为2

（2）解：∵k1k2=﹣1，∴两直线互相垂直，

设AB：x=my+2，则CD：x=﹣ y+2，

x=my+2代入y2=4x，得y2﹣4my﹣8=0，

则y1+y2=4m，y1y2=﹣8，

∴M（2m2+2，2m）．

同理N（ +2，﹣ ），

∴|PM|=2|m| ，|PN|= ，|

∴S△PMN= |PM||PN|= （m2+1）=2（|m|+ ）≥4，

当且仅当m=±1时取等号，

∴△PMN面积的最小值为4

【解析】（1）若k1+k2=0，线段AB和CD关于x轴对称，利用 ，确定坐标之间的关系，即可求线段MN的长；（2）若k1k2=﹣1，两直线互相垂直，求出M，N的坐标，可得|PM|，|PN|，即可求△PMN面积的最小值．