【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 且an是Sn与2的等差中项,数列{bn}中,b1=1,点P(bn , bn+1)在直线x﹣y+2=0上.
(1)求a1和a2的值;
(2)求数列{an},{bn}的通项an和bn;
(3)设cn=anbn , 求数列{cn}的前n项和Tn .
【答案】
(1)解:∵an是Sn与2的等差中项
∴Sn=2an﹣2∴a1=S1=2a1﹣2,解得a1=2
a1+a2=S2=2a2﹣2,解得a2=4
(2)解:∵Sn=2an﹣2,Sn﹣1=2an﹣1﹣2,
又Sn﹣Sn﹣1=an,n≥2
∴an=2an﹣2an﹣1,
∵an≠0,
∴ =2(n≥2),即数列{an}是等比数列,∵a1=2,∴an=2n
∵点P(bn,bn+1)在直线x﹣y+2=0上,∴bn﹣bn+1+2=0,
∴bn+1﹣bn=2,即数列{bn}是等差数列,又b1=1,∴bn=2n﹣1
(3)解:∵cn=(2n﹣1)2n
∴Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=1×2+3×22+5×23+…+(2n﹣1)2n,
∴2Tn=1×22+3×23+…+(2n﹣3)2n+(2n﹣1)2n+1
因此:﹣Tn=1×2+(2×22+2×23+…+2×2n)﹣(2n﹣1)2n+1,
即:﹣Tn=1×2+(23+24+…+2n+1)﹣(2n﹣1)2n+1,
∴Tn=(2n﹣3)2n+1+6
【解析】(1)先利用an是Sn与2的等差中项把1代入即可求a1 , 再把2代入即可求a2的值;(2)利用Sn=2an﹣2,可得Sn﹣1=2an﹣1﹣2,两式作差即可求数列{an}的相邻两项之间的关系,找到规律即可求出通项;对于数列{bn},直接利用点P(bn , bn+1)在直线x﹣y+2=0上,代入得数列{bn}是等差数列即可求通项;(3)先把所求结论代入求出数列{cn}的通项,再利用数列求和的错位相减法即可求出其各项的和.
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和,掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系即可以解答此题.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某条公共汽车线路收支差额与乘客量的函数关系如图所示(收支差额车票收入支出费用),由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两条建议:建议(Ⅰ)不改变车票价格,减少支出费用;建议(Ⅱ)不改变支出费用,提高车票价格,下面给出的四个图形中,实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系,则
A. ①反映了建议(Ⅱ),③反映了建议(Ⅰ)
B. ①反映了建议(Ⅰ),③反映了建议(Ⅱ)
C. ②反映了建议(Ⅰ),④反映了建议(Ⅱ)
D. ④反映了建议(Ⅰ),②反映了建议(Ⅱ)
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【题目】已知直线l过点P(1,0,﹣1),平行于向量=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量不可能是( )
A.(1,﹣4,2)
B.(,-1,)
C.(-,1,-)
D.(0,﹣1,1)
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【题目】如图,已知抛物线y2=4x,过点P(2,0)作斜率分别为k1 , k2的两条直线,与抛物线相交于点A、B和C、D,且M、N分别是AB、CD的中点
(1)若k1+k2=0, ,求线段MN的长;
(2)若k1k2=﹣1,求△PMN面积的最小值.
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