【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)当时,求证:过点
有三条直线与曲线
相切;
(Ⅱ)当时,
,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).
【解析】试题分析:
(1),设直线与曲线
相切,其切点为
,求出切线方程,且切线过点
,可得
,判断方程有三个不的根,则结论易得;
(2) 易得当时,
,设
,则
,设
,则
,分
、
两种情况讨论函数
的单调性并求出最小值,即可得出结论;
法二:
(1)同法一得,设
,求导判断函数的单调性,判断函数的零点个数,即可得出结论;
(2)同法一.
试题解析:
解法一:(Ⅰ)当时,
,
设直线与曲线相切,其切点为
,
则曲线在点
处的切线方程为:
,
因为切线过点,所以
,
即,
,
,
设,
,
,
,
在三个区间
,
,
上至少各有一个根
又因为一元三次方程至多有三个根,所以方程恰有三个根,
故过点有三条直线与曲线
相切.
(Ⅱ)当
时,
,即当
时,
当
时,
,
设,则
,
设,则
.
(1)当时,
,从而
(当且仅当
时,等号成立)
在
上单调递增,
又当
时,
,从而当
时,
,
在
上单调递减,又
,
从而当时,
,即
于是当时,
,
(2)当时,令
,得
故当时,
,
在
上单调递减,
又当
时,
,
从而当时,
,
在
上单调递增,又
,
从而当时,
,即
于是当时,
,
综合得的取值范围为
.
解法二:(Ⅰ)当时,
,
,
设直线与曲线相切,其切点为
,
则曲线在点
处的切线方程为
,
因为切线过点,所以
,
即,
,
设,则
,令
得
当变化时,
变化情况如下表:
恰有三个根,
故过点有三条直线与曲线
相切.
(Ⅱ)同解法一.
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【题目】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x= 时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( )
A.f(2)<f(﹣2)<f(0)
B.f(0)<f(2)<f(﹣2)
C.f(﹣2)<f(0)<f(2)
D.f(2)<f(0)<f(﹣2)
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【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 且an是Sn与2的等差中项,数列{bn}中,b1=1,点P(bn , bn+1)在直线x﹣y+2=0上.
(1)求a1和a2的值;
(2)求数列{an},{bn}的通项an和bn;
(3)设cn=anbn , 求数列{cn}的前n项和Tn .
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【题目】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.
(Ⅰ)求C;
(Ⅱ)若c= ,△ABC的面积为
,求△ABC的周长.
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【题目】在“一带一路”的建设中,中石化集团获得了某地深海油田区块的开采权,集团在该地区随机初步勘探了几口井,取得了地质资料.进入全面勘探时期后,集团按网络点来布置井位进行全面勘探.由于勘探一口井的费用很高,如果新设计的井位与原有井位重合或接近,便利用旧井的地质资料,不必打这口新井,以节约勘探费用.勘探初期数据资料下表:
(1)在散点图中号旧井位置大致分布在一条直线附近,借助前5组数据求得回归线方程为
,求
,并估计
的预报值;
(2)现准备勘探新井,若通过1、3、5、7号井计算出的
的值(
精确到0.01)相比于(1)中
的值之差(即:
)不超过10%,则使用位置最接近的已有旧井
,否则在新位置打井,请判断可否使用旧井?(参考公式和计算结果:
,
)
(3)设出油量与钻探深度的比值不低于20的勘探井称为优质井,在原有井号
的井中任意勘探3口井,求恰好2口是优质井的概率.
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【题目】给出定义:若m﹣ <x≤m+
(其中m为整数),则m叫做离实数x最近的整数,记作{x},即{x}=m,设函数f(x)=x﹣{x},二次函数g(x)=ax2+bx,若函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有一个公共点,则a,b的取值不可能是( )
A.a=﹣4,b=1
B.a=﹣2,b=﹣1
C.a=4,b=﹣1
D.a=5,b=1
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【题目】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M为DD1的中点,O为底面ABCD的中心,P为棱A1B1上任意一点,则直线OP与直线AM所成的角是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】设等比数列{an}的前项n和Sn , a2= ,且S1+
,S2 , S3成等差数列,数列{bn}满足bn=2n.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设cn=anbn , 若对任意n∈N+ , 不等式c1+c2+…+cn≥ λ+2Sn﹣1恒成立,求λ的取值范围.
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