【题目】设等比数列{an}的前项n和Sn , a2= ,且S1+ ,S2 , S3成等差数列,数列{bn}满足bn=2n.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设cn=anbn , 若对任意n∈N+ , 不等式c1+c2+…+cn≥ λ+2Sn﹣1恒成立,求λ的取值范围.
【答案】
(1)解:设数列{an}的公比为q,
∵ 成等差数列,∴ ,∴ ,
∵ ,∴ ,∴ ,
∴
(2)解:设数列{cn}的前项n和为Tn,则Tn=c1+c2+c3+…+cn,
又 ,
∴ , ,
两式相减得 ,
∴ ,
又 ,
∴对任意n∈N+,不等式 恒成立等价于 恒成立,
即 恒成立,即 恒成立,
令 , ,
∴f(n)关于n单调递减,∴ ,∴λ≤2,
∴λ的取值范围为(﹣∞,2]
【解析】(1)由S1+ ,S2 , S3成等差数列,可得 ,化简为 ,又因为 ,解得a1和q,即可求出等比数列{an}的通项公式;(2)因为{an}是等比数列,{bn}是等差数列,而cn=anbn , 故利用错位相减法即可求出Tn=c1+c2+…+cn , 将Tn和Sn代入不等式,并整理得 ,记f(n)= ,
利用作差法可得f(n)关于n单调递减,则f(n)max=f(1)=1,故 ,即λ≤2.
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和和数列的通项公式,掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题.
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【题目】下列四组函数,表示同一函数的是( )
A.f(x)= ,g(x)=x
B.f(x)=x,g(x)=
C.f(x)=lnx2 , g(x)=2lnx
D.f(x)=logaax(a>0,a≠1),g(x)=
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某公司即将推车一款新型智能手机,为了更好地对产品进行宣传,需预估市民购买该款手机是否与年龄有关,现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查,若得分低于60分,说明购买意愿弱;若得分不低于60分,说明购买意愿强,调查结果用茎叶图表示如图所示.
(1)根据茎叶图中的数据完成列联表,并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关?
购买意愿强 | 购买意愿弱 | 合计 | |
20~40岁 | |||
大于40岁 | |||
合计 |
(2)从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样,共抽取5人,从这5人中随机抽取2人进行采访,记抽到的2人中年龄大于40岁的市民人数为,求的分布列和数学期望.
附: .
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【题目】一种放射性元素,最初的质量为500克,按每年10%衰减.
(1)求t年后,这种放射性元素的质量w的表达式;
(2)用求出的函数表达式,求这种放射性元素的半衰期.(放射性元素的原子核有半数发生衰变时所需要的时间,叫“半衰期”)(lg0.5≈﹣0.3010,lg0.9≈﹣0.0458,结果精确到0.1).
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【题目】如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB=AA1=2,AC= ,BC=3,M,N分别为B1C1、AA1的中点.
(1)求证:平面ABC1⊥平面AA1C1C;
(2)求证:MN∥平面ABC1 , 并求M到平面ABC1的距离.
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