Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=AA1=2，AC= ，BC=3，M，N分别为B1C1、AA1的中点．

（1）求证：平面ABC1⊥平面AA1C1C；
（2）求证：MN∥平面ABC1 ， 并求M到平面ABC1的距离．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AB2+AC2=BC2，∴AB⊥AC，

又三棱柱中，有AA1⊥平面ABC，

∴AA1⊥AB，

又 AC∩AA1=A，

∴AB⊥平面AA1C1C，

∵AB平面ABC1，

∴平面ABC1⊥平面AA1C1C

（2）证明：取BB1中点D，∵M为B1C1中点，

∴MD∥BC1（中位线），

又∵N为AA1中点，四边形ABB1A1为平行四边形，

∴DN∥AB（中位线），

又MD∩DN=D，

∴平面MND∥平面ABC1．

∵MN平面MND，

∴MN∥平面ABC1．

∴N到平面ABC1的距离即为M到平面ABC1的距离．

过N作NH⊥AC1于H，

∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，

∴NH⊥平面ABC1，

又根据△ANH∽△AC1A1

∴ ．

∴点M到平面ABC1的距离为 ．

【解析】（1）根据线面垂直的判定定理，先证直线AB⊥平面AA1C1C，再根据面面垂直的判定定理，证得平面ABC1⊥平面AA1C1C．（2）根据面面平行的判定定理，先证平面MND∥平面ABC1 ， 再根据面面平行的性质定理，得出MN∥平面ABC1 ，
求M到平面ABC1的距离，则根据性质，等价转化为求N到平面ABC1的距离．作出点N作出平面ABC1的垂线，并根据相似求出垂线段的长度．
【考点精析】本题主要考查了平面与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能正确解答此题．