【题目】如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB=AA1=2,AC= ,BC=3,M,N分别为B1C1、AA1的中点.
(1)求证:平面ABC1⊥平面AA1C1C;
(2)求证:MN∥平面ABC1 , 并求M到平面ABC1的距离.
【答案】
(1)证明:∵AB2+AC2=BC2,∴AB⊥AC,
又三棱柱中,有AA1⊥平面ABC,
∴AA1⊥AB,
又 AC∩AA1=A,
∴AB⊥平面AA1C1C,
∵AB平面ABC1,
∴平面ABC1⊥平面AA1C1C
(2)证明:取BB1中点D,∵M为B1C1中点,
∴MD∥BC1(中位线),
又∵N为AA1中点,四边形ABB1A1为平行四边形,
∴DN∥AB(中位线),
又MD∩DN=D,
∴平面MND∥平面ABC1.
∵MN平面MND,
∴MN∥平面ABC1.
∴N到平面ABC1的距离即为M到平面ABC1的距离.
过N作NH⊥AC1于H,
∵平面ABC1⊥平面AA1C1C,
∴NH⊥平面ABC1,
又根据△ANH∽△AC1A1
∴ .
∴点M到平面ABC1的距离为 .
【解析】(1)根据线面垂直的判定定理,先证直线AB⊥平面AA1C1C,再根据面面垂直的判定定理,证得平面ABC1⊥平面AA1C1C.(2)根据面面平行的判定定理,先证平面MND∥平面ABC1 , 再根据面面平行的性质定理,得出MN∥平面ABC1 ,
求M到平面ABC1的距离,则根据性质,等价转化为求N到平面ABC1的距离.作出点N作出平面ABC1的垂线,并根据相似求出垂线段的长度.
【考点精析】本题主要考查了平面与平面垂直的判定的相关知识点,需要掌握一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直才能正确解答此题.
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【题目】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M为DD1的中点,O为底面ABCD的中心,P为棱A1B1上任意一点,则直线OP与直线AM所成的角是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】设等比数列{an}的前项n和Sn , a2= ,且S1+
,S2 , S3成等差数列,数列{bn}满足bn=2n.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设cn=anbn , 若对任意n∈N+ , 不等式c1+c2+…+cn≥ λ+2Sn﹣1恒成立,求λ的取值范围.
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【题目】若数列{an}满足a2﹣a1>a3﹣a2>a4﹣a3>…>an+1﹣an>…,则称数列{an}为“差递减”数列,若数列{an}是“差递减”数列,且其通项an与其前n项和Sn(n∈N*)满足2Sn=3an+2λ﹣1(n∈N*),则实数λ的取值范围是
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【题目】祖暅是南北朝时代的伟大科学家,5世纪末提出体积计算原理,即祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任何一个平面所截,如果截面面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等.现有以下四个几何体:图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体;图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球,则满足祖暅原理的两个几何体为( )
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①④
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【题目】已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点.
(1)若 =3
,求直线AB的斜率;
(2)设点M在线段AB上运动,原点O关于点M的对称点为C,求四边形OACB面积的最小值.
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