【题目】已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点.
(1)若 =3 ,求直线AB的斜率;
(2)设点M在线段AB上运动,原点O关于点M的对称点为C,求四边形OACB面积的最小值.
【答案】
(1)
解:由抛物线y2=4x的焦点在x轴上,焦点坐标F(1,0),
设直线AB的方程为:x=my+1,
则 ,整理得:y2﹣4my﹣4=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由韦达定理可知:y1+y2=4m,y1y2=﹣4,
=(1﹣x1,﹣y1), =(x2﹣1,y2),
∵ =3 ,
∴﹣y1=3y2,整理得:m2= ,解得:m=± ,
∴直线AB的斜率k= =± ,
直线AB的斜率 或﹣
(2)
解:由(1)可知:丨y1﹣y2丨= = =4 ,
四边形OACB面积SOACB=2SAOB= 丨OF丨丨y1﹣y2丨=丨y1﹣y2丨=4 ≥4,
当m=0时,四边形OACB的面积最小,最小值为4.
【解析】(1)由题意可知:设直线AB的方程为:x=my+1,代入抛物线方程,由韦达定理可知:y1+y2=4m,y1y2=﹣4,则 =(1﹣x1 , ﹣y1), =(x2﹣1,y2),由 =3 ,﹣y1=3y2 , 解得:m=± ,即可求得直线AB的斜率;(2)由(1)可知:丨y1﹣y2丨= = =4 ,则四边形OACB面积SOACB=2SAOB= 丨OF丨丨y1﹣y2丨=丨y1﹣y2丨,即可求得4 ≥4,当m=0时,四边形OACB的面积最小,最小值为4.
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【题目】下列四组函数,表示同一函数的是( )
A.f(x)= ,g(x)=x
B.f(x)=x,g(x)=
C.f(x)=lnx2 , g(x)=2lnx
D.f(x)=logaax(a>0,a≠1),g(x)=
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【题目】如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB=AA1=2,AC= ,BC=3,M,N分别为B1C1、AA1的中点.
(1)求证:平面ABC1⊥平面AA1C1C;
(2)求证:MN∥平面ABC1 , 并求M到平面ABC1的距离.
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【题目】如图,焦点在x轴上的椭圆 =1(a>0)的左、右焦点分别为F1、F2 , P是椭圆上位于第一象限内的一点,且直线F2P与y轴的正半轴交于A点,△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q,若|F1Q|=4,则该椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】盒内有大小相同的9个球,其中2个红色球,3个白色球,4个黑色球.规定取出1个红色球得1分,取出1个白色球得0分,取出1个黑色球得分,现从盒内任取3个球.
(Ⅰ)求取出的3个球中至少有一个红球的概率;
(Ⅱ)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率;
(Ⅲ)设为取出的3个球中白色球的个数,求的分布列及期望.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xoy中,已知F1 , F2分别是椭圆E: 的左、右焦点,A,B分别是椭圆E的左、右顶点,且 .
(1)求椭圆E的离心率;
(2)已知点D(1,0)为线段OF2的中点,M 为椭圆E上的动点(异于点A、B),连接MF1并延长交椭圆E于点N,连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q,连接PQ,设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2 , 试问是否存在常数λ,使得k1+λk2=0恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=
(1)求证f(x)在(0,+∞)上递增
(2)若f(x)在[m,n]上的值域是[m,n],求实数a的取值范围
(3)当f(x)≤2x在(0,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】某生产甲,乙两种产品,生产这两种产品每吨需要的煤,电以及每吨产品的产值如表所示.若每天配给该厂的煤至多56吨,供电至多45千瓦,问该厂如何安排生产,使该厂日产值最大?
用煤/吨 | 用电/千瓦 | 产值/万元 | |
甲种产品 | 7 | 2 | 8 |
乙种产品 | 3 | 5 | 11 |
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