Question

9．记f_n（x）=f（f（f（…f（x））…），其中有n个f，若f（x）是一次函数，且f₁₀（x）=1024x+1023，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 设出函数的解析式，求出f₁₀（x）的解析式，根据系数相等得到方程组，解出a，b的值即可．

解答 解：设f（x）=ax+b，
则：f₁（x）=ax+b，
f₂（x）=f（ax+b）=a²x+ab+b，
f₃（x）=f（a²x+ab+b）=a³x+a²b+ab+b，
…，
f₁₀（x）=a¹⁰x+a⁹b+a⁸b+…+ab+b
=1024x+1023，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{10}=1024}\\{{a}^{9}b{+a}^{8}b+…+ab+b=1023}\end{array}\right.$，
解得：a=2，b=1，
∴f（x）=2x+1．

点评 本题考查了求函数的解析式问题，考查等比数列的应用，是一道中档题．