Question

若函数y=

ax+b

x2+x-1

的值域为(-∞，

1

5

]∪[1，+∞)，求实数a，b的值．

Answer 1

分析：由题意，本题是一个知道函数值域求参数的值的问题，由于它可以变为一个关于x二次方程，故可以采用判别式法得到关于a，b的方程求出两者的值

解答：解：由题意函数y=

ax+b

x2+x-1

可变为yx²+（y-a）x-（b+y）=0
由题设条件，此方程一定有根，y=0时显然成立
当y≠0时，必有△≥0，即（y-a）²+4y（b+y）≥0
整理得5y²-（2a-4b）y+a²≥0
又函数y=

ax+b

x2+x-1

的值域为(-∞，

1

5

]∪[1，+∞)，
∴

1

5

，1是方程5y²-（2a-4b）y+a²=0的两个根，且a＞0
∴

1

5

+1=

2a-4b

5

，

1

5

×1=

a2

5

，
解得a=1，b=-1或a=-1，b=-2
答：a=1，b=-1或a=-1，b=-2

点评：本题是判别式法求值域的变形运用，其特点是变形得到关于函数值的不等式，再由不等式的解集端点与相应方程式根的关系建立参数方程求参数，判断别式法求值域是应用较少的一个技巧，运用时易忘掉二次项为0时的讨论，用此法作题时应注意．求f（x）=

a2x2+b2x+c2

a1x2+b1x+c1

（a₁²+a₂²≠0）的值域时，常利用函数的定义域非空这一隐含的条件，将函数转化为方程，利用△≥0转化为关于函数值的不等式．求解时，要注意二次项系数为字母时要讨论．．