Question

（2012•绍兴模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=

3

a．
（1）当c=1，且△ABC的面积为

3

4

时，求a的值；
（2）当cosC=

3

3

时，求cos(B-A)的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的面积公式把表示出三角形ABC的面积，将已知的面积及b=

3

a代入，表示出sinC，再由c及b=

3

a，利用余弦定理表示出cosC，利用同角三角函数间的基本关系得到sin²C+cos²C=1，将表示出的sinC和cosC代入，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
（2）由b=

3

a及cosC的值，利用余弦定理得到c=

2

a，可得出b²=a²+c²，根据勾股定理的逆定理可得出三角形为直角三角形，B为直角，进而确定出sinB=1，再利用正弦定理化简b=

3

a，将sinB的值代入求出sinA的值，将B的度数代入所求的式子中，利用诱导公式化简得到所求式子等于sinA的值，由sinA的值即可得到所求式子的值．

解答：解：（1）∵△ABC的面积为

3

4

，b=

3

a，
∴

1

2

absinC=

1

2

a•

3

a•sinC=

3

2

a²sinC=

3

4

，
∴sinC=

1

2a2

，（2分）
又c=1，b=

3

a，
∴由余弦定理得：c²=1=a²+b²-2abcosC=a²+3a²-2a•

3

acosC，即cosC=

4a2-1

2 3 a2

，（4分）
∵sin²C+cos²C=1，∴（

1

2a2

）²+（

4a2-1

2 3 a2

）²=1，（6分）
整理得：（a²-1）²=0，即a²-1=0，
解得：a=1；（7分）
（2）∵b=

3

a，cosC=

3

3

，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+3a²-2a²=2a²，即c=

2

a，（9分）
又b=

3

a，∴b²=a²+c²，∴B=90°，（11分）
由b=

3

a，sinB=1，
利用正弦定理得：sinB=

3

sinA，即sinA=

3

3

，（13分）
则cos（B-A）=cos（90°-A）=sinA=

3

3

．（14分）

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，三角形的面积公式，同角三角函数间的基本关系，勾股定理的逆定理，以及诱导公式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．